応用数学 繁田研究室

非有界領域問題の数値計算

　波の散乱問題では、障害物の周囲に無限に広がる空間、すなわち非有界領域を考える必要があります。しかし、コンピュータ上で無限に広がる領域をそのまま計算することはできません。そこで、人工境界を導入して計算領域を有限の大きさの有界領域に切り取り、その境界上で外部領域の影響を正しく表現する方法が重要になります。
　本研究室では、境界上の値から法線方向の変化を対応づけるディリクレ?ノイマン写像（Dirichlet-to-Neumann写像、DtN写像）を用いることで、外部領域の影響を透明境界条件として表現し、非有界領域問題を有界領域問題へ帰着させて高精度に解くための数値計算を行っています。
　具体的には、DtN写像をMFSによって離散化し、さらにFFTを利用することで、大幅な計算時間の短縮を実現する手法を研究しています。円形人工境界上に点を規則的に配置すると、計算に現れる行列には巡回構造が現れます。この構造を利用することで、従来は大きな計算時間を要した処理を高速化できます。実際に、透明境界条件に用いるDtN写像の計算部分では、従来手法で10分を超える計算が、提案手法では0.01秒程度で実行できる例も得られています。

?逆問題の数値計算への展開

　逆問題とは、観測された結果から原因や内部構造を推定する問題です。たとえば、外側で測定された波のデータから内部の障害物や媒質の性質を推定する問題は、非破壊検査や医療画像診断などと深く関係しています。

　現在の主な研究は非有界領域問題に対する高速数値計算ですが、そこで用いられるDtN写像は様々な逆問題の数値計算とも密接に関係しています。境界で得られる情報をどのように数値的に扱うかという視点から、順問題と逆問題の両方に役立つ計算手法の構築を目指しています。